フィボナッチ数の魅力

NHK スーパープレゼンテーションより、表題のTalk を見つけた。
http://www.nhk.or.jp/superpresentation/backnumber/151021.html#pre2
http://www.ted.com/talks/arthur_benjamin_the_magic_of_fibonacci_numbers

この話題なら、長男も食いつきそう。
そして、長男が横を通りかかる頃を見計らってこのビデオを見ていると、案の定足を停めた。

「ふーん、2乗って square なんだね」

小さな、一歩だ

統計学, 科学教育, ビッグデータ..... サイエンスウインドウ 2015冬号から

サイエンスウインドウ 2015冬号の記事から、
「これからの時代に必要とされる統計学」　
慶應義塾大学大学院 教授　渡辺美智子氏のインタビュー記事。科学教育のあり方、統計学の重要性について触れられている

２００２年には国際科学教育教師会議で科学的探究のプロセスが示され、海外の教育では科目に取り入れられてきているとのこと。

科学的探究のプロセス（Harwood&Philipson（2002））
①身の回りの現象を注意深く観察する。
②現象に対する疑問や問題を見つけ、明確にする。
③問題点を具体化する。
④関係する既存の知識を洗い出す。
⑤仮説（主に因果関係の）を明確にする。
⑥仮説検証のための観察・調査・実験等の研究を行う。
⑦結果を解釈する。
⑧結果を研究成果に反映させる。
⑨成果を社会と組織に向けて公表し議論する。

海外で数学や科学の科目に統計学を取り入れた教育カリキュラムに大きく変更されたのは約20年前。そのきっかけはなんと驚くことに、日本の品質管理の水準の高さを、世界がむしろ学んだことからです。不良品が発生する原因を、製造プロセスの中で一つひとつ突き止めて不良品率を下げていくという品質管理の考え方です。

イギリスでもアメリカでもドイツでも、科学をつくり上げていく因果関係の仮説をデータで説明していく過程で、何に注意していかなければならないか、どういうスキルが必要かということを、学年が上がるとともに少しずつ積み上げて学習していっている

この記事を読んで思い出したのが、「理系の子」。アメリカでの高校生科学オリンピックにチャレンジする生徒たちの様子を追いまとめた本。
科学オリンピックにチャレンジする生徒に、科学的探究のプロセスに沿って調べたりまとめたり指導している様子が伺える。20年くらい前からカリキュラムに取り入れてきているというのも頷ける。

「理系の子―高校生科学オリンピックの青春」文藝春秋社
http://www.amazon.co.jp/gp/product/416790215X



統計学は、いま流行りのビッグデータを扱ううえで鍵となる技能。統計学が活かされる事例も多いだろう。

好奇心の灯をともす 秋山仁の数学体験館

昨年末、長男と一緒に行った数学体験館のことを理科ハウスで話すと、ちょうど数学体験館のこと、秋山仁氏のことが記事になっていると教わった。
http://tanakat13.blogspot.jp/2015/01/blog-post_8.html

記事は、サイエンスウインドウ誌に掲載。
サイエンスウインドウ誌は科学技術振興機構が発行する科学教育誌で教育機関に配布されているほか、誌面はウェブに掲載されて無料で読むことができる。
http://sciencewindow.jst.go.jp/
http://sciencewindow.jst.go.jp/issue/pdf/SW2015_1-3_1p.pdf

今号 (2015年 冬号)は「なぜ数学を学ぶの？」という特集。秋山仁氏の記事以外にも良い記事が沢山載っている。

とても共感を覚える箇所をいくつか抜粋。

(算数、数学に限らずものごとに取り組む姿勢として)

元プロ野球監督の故大沢啓二氏の話。現役引退後、アメリカにコーチの修業に行っていたときのこと。バントができない選手たちに手取り足取りで教えようとしたら、それを見ていた大リーグのコーチに言われる。
｢教えちゃダメだよ。教えりゃすぐにできるようになるけど、そんなのは熟練した深い技能にはつながらない。自力で壁を乗り越えてできるようになったときに、本当の技能として身に付くんだ」
算数もスポーツも、職人が弟子に技術を伝えるときに何も教えず「盗んで覚えろ」と言うのも、みんな同じだと思った。

(師との出会いについて)

「良い先生は丁寧に教える、もっと良い先生は自ら範を垂れる、最高の先生は子どもの心に好奇心の灯をともしてやる気にさせる」 --- アメリカの哲学者ウィリアム･アーサー･ワード

長男の話を聞く限りは、学校で良い先生に巡り合えている様子

(子どもたちを数学、勉強に向かわせる動機付けについて)

好きだからやれるんです。子どもだって同じですよ。好きにさせてのめり込ませちゃえば、あとはもう「やめろ」と言ったってやるんです。

そうなれば、算数や数学に限らず、人生のさまざまな場面で難問に直面したとき、何をすべきかを考えていく姿勢が育っているから、その教育はほとんど成功です。子どもたちに算数や数学をいかに好きにさせるか。勝負はそこなんです。不思議を感じる感性と、それを解き明かす術と醍醐味をはぐくむことです。

数学体験館と近代科学資料館

近代科学資料館
http://www.tus.ac.jp/info/setubi/museum/

数学体験館
https://oae.tus.ac.jp/mse/taikenkan/

年末、2学期終了前の土曜日、長男とともに神楽坂へ。
表題の施設を見に行くため。

少し前に新聞にも載っていたが、アナログ式の微分解析機を再生し、ここに展示してあるどいうことを知ったのがきっかけ。
しかし、大学の施設ということもあり、日曜日は休館。そして冬休みも大学の休みに合わせて休館になるので、普段の土曜日に授業、部活のある長男にとっては数少ないチャンスだった。

■資料館の方はその名の通り、近代の計算道具が集められ展示されている。
分類だてするのも難しいので、私が気になったものを列挙する、
* 日本での最初に導入された商用電子計算機 (UNIVAC 120)
* アナログ式微分解析機
* フロッピーディスクの数々
* マイクロプロセッサー (CPU) の系譜 (Intel, Motorola 等)
* 家庭用/ハンディ ゲーム機の系譜 (Nintendo, SEGA, SONY 等)
* パーソナルコンピューターの数々 (Apple ][, PC-8001, PC-9801 VM, Macintosh, IBM 5550 等々 )
自らも使った機器が並んでいるので、懐かしく、感慨深い。
https://plus.google.com/u/0/photos/105774014558618732832/albums/6092621449018763057

■「体験館」の方は、館内は一切撮影禁止。
展示内容の説明も難しいので、ウェブページを見ていただくとして、長男が時間をかけて見ていた展示テーマを上げると
https://oae.tus.ac.jp/mse/taikenkan/floor/
* 三平方の定理
* ゲーム・パズル
* 立体・多面体

長男が通っている理科ハウスの先生の「長男ならば少なくとも2時間は楽しめる」との言葉通り、堪能した様子。

数学のいろいろな理屈・理論を視覚化されているし、学生やボランティアの学芸員が説明をしてくれるので分かりやすいと思う。
どちらの施設もお勧めしたい。

大人のほうがてこずる算数

この本から、共感することがいくつか書かれていたので、抜粋しておこう。

http://www.amazon.co.jp/gp/product/4101198527

--------------------------

イギリスの本にあった足し算の問題。□にはいる数字を考えなさい。

□ + □ = 9

イギリスでは1つの答えをだすのではなく、「いろいな答えがある問題」を出す。

日本では計算問題というと多く答えは1つ。答えが1つということは、算数ではよくあることだが、これは、次のような考え方を生む。
1. なるべ速く答えを出そうとする
2. 簡単に答えを出せる方法を重んじる
3. 答えをだすマニュアルを覚えたがる
つまり、「考えない」。イギリスの問題の出し方のいいとろこは、「考えさせている」ところ。

--------------------------
次の割り算の式と答えにあうような「割り算の文章題」を作りなさい。

(1) 10 ÷ 3 = 3 あまり 1   答え 3 あまり 1

(2) 2 ÷ 5 = 0.4   答え 0.4

(3) 2 ÷ 3 = 2/3   答え 2/3

こういう出題の仕方は、フランスの小学校ではよくあること。

この出題方式の「よさは何か」とは、日本の子どもたちの「マニュアル暗記で問題を解こう」という構えが通用しないこと。

--------------------------
(ある、文章問題に対して)
まじめな算数問題なのですが、いまの子どもたちはギャグ的に考えてやろうとします。　(中略)
「そういうギャグには乗れない」ということにしています。そうしないと、数学的な発想をしようとしないからです。
--------------------------

パソコンを使った学習

夏休みの宿題か、興味の延長の遊びなのかよく分からないが、長男から パソコンにグラフ作成のソフトをインストールして欲しいと言ってきた。

Grapes というソフト。関数の式を入れるとグラフを描いてくれる。学校の物理部が出している部誌に載っているレポートから見つけてきた。
http://www.osaka-kyoiku.ac.jp/~tomodak/grapes/


パソコンの使い方が理系の生徒っぼくなってきた。

英語と数学/理系学科

最近の長男

ものごとを整理して考えるのは得意らしい。数を分類することに注目している。

Wikipedia にはすでに整理して載っているようなことだが、自然数は整数に含まれ、整数は数の比で表される(分数の形で表される)有理数に含まれ・・・・ 

http://ja.wikipedia.org/wiki/数

それぞれの数に与えられた名称を英語でまとめる試みもはじめた。
自然数 → 整数 → 有理数 → 実数 → 複素数 
Natural numbers -> Integer -> Rational numbers -> Real numbers -> Complex numbers
という具合

http://en.wikipedia.org/wiki/Number

理系は英語が苦手とのイメージもあるが、こういう技術用語を英語で覚えておくのはよい取り組みだと思う。

このような地道な取り込みと比べて雲の上の世界とも思うが、山中教授などノーベル賞を受賞できるほどに評価されるのは世界中が読めるように英文で論文を発表しているから。
理系だから英語は苦手という世間一般の固定観念からは脱却したい。

年齢あてクイズ

長男、学校の授業にて、担当の先生の年齢あてクイズが出されたとのこと。

提出は任意だったのだそうだが、こういう問題の好きな長男は問題に取り組んで、提出。そうしたら、提出したのは一人だけで褒められたそうだ。よかった。

そのうえ、問題は文章題のような形式だったのだそうだが、条件に当てはまる回答が複数存在した。そのことを先生に言うと「確かにその通り」と認めたとのこと。

条件とは

• 年齢は30から50の間
• その先生は、東日本大震災のときにちょうど誕生日の2ヶ月前で、そのときの年齢は、
• 素数ひとつと合成数ひとつの積で表される
• その合成数は、ひとつの素数の積で表される

で、この条件に当てはまる数は複数あるわけだが、クイズの本旨であった先生の年齢は、結局聞いていないとのこと。数学の問題として取り組んでいたようだ。
これもまた長男らしい。

数学宿題

長男は、数学の授業で自由レポートの宿題をもらってきた。小学校のときにやっていた、「発表」にもにた宿題。

取り組んだのは組み合わせの数の問題。同じクラスに同じ誕生日の人がいる場合がどれくらいかを考える。

この問題、雑誌Newton にも載っていて見覚えがあったはず。レポートの参考にもしていたようだ。

今回のレポートでは、実際にその数を計算してみたかった様子。しかし、普通の電卓や関数電卓ではすぐに桁あふれを起こしてしまい計算出来ない。そこでエクセルでの計算の仕方を試してみた。組み合わせの場合の数は、40人のクラスの場合には 100桁を超え、50人のクラスの場合には126桁にも及ぶことが分かった。
クラスの人数が23人を超えると、誕生日が重なる人がいる確率が50%を超え、40人のクラスでは90%近くになる。

エクセルでは数列 (級数) を作ってグラフにしてみることも試す。グラフの作り方を教えると、早速いろいろなグラフを試して見たり、パラメータを変えてグラフの形が変化するのを確かめたり。こういう問題に取り組んで考えているときは楽しんでいることがよく分かる。

あと数日

長男の受験まではあと数日。

都内、千葉、関西の学校ではすでに試験が行われたところもある。
大手学習塾のウェブには、過去問の掲示もあり各校の傾向も知ることが出来る。すでに試験が始まった学校の分は今年の問題も載っている。

http://www.yotsuyaotsuka.com/kaitou-sokuhou/index.php

少し前に学校で、難関中学の算数の過去問にチャレンジし、長男の得意分野、図形の問題は見事に回答できたそうだ。

その問題も、ウェブに載っている今年の問題も、自分でもチャレンジしてみたが難しい。中学の問題、侮れない。
きっと長男の方が簡単に問題を解いてしまうだろうし、きっと長男の方が点を取れるだろう。

算数本のおすすめ

Amazon からのお知らせメールにて、おすすめ本を紹介される。
「算数の探険1　たす　ひく　かける　わる（加減乗除）」

この本の対象年齢からすると我が家の子どもたちは、すでに経過してしまっているのでプレゼントには向かないが、私自身がこれを読んで育った経験から、ああ懐かしい、よい本だった、ひとにお薦めしたい、と思う気持ちを持った。
いっぽうで、38年ぶりの復刊というのは算数の本質は変わっていなくても教科書、指導要領の違いから学ぶのに適した素材になっているのだろうか、とか1冊約4,000円という値段は手頃ではないのではないだろうか(それでも、著者の顔ぶれをみればなんと豪華なことかとも思う)などなど、いろいろと思いは巡る。

シリーズ全10巻

知的興味と受験脳

日曜日、長男が模試を受けに行く。試験会場が渋谷だったので、会場まではいっしょに行った。

集合は朝9時前、終了予定は2時すぎ、頭を使って疲れただろうと思うのだが。

試験が終わって少しでも気分転換になればと思い、本屋に寄る。
長男が本屋で手にしたのは、元素図鑑だったり、Newton Mook (数理パズル)だったり、また頭を使いそうな本ばかり。そして、結局、数学ガールを購入。

長男の中では、試験を受けたり受験勉強のために使う頭と、自分の興味を持って覚えたり考えるのは、まったく違う分野の脳が働いているようだ。

ドリトル

ドリトルと聞けば、私はまず、児童文学のドリトル先生シリーズが思い浮かぶ。

http://ja.wikipedia.org/wiki/ドリトル先生シリーズ

最近では、ドリトルという名のプログラミング言語があるようだ。
http://dolittle.eplang.jp/
http://ja.wikipedia.org/wiki/ドリトル(プログラミング言語)

カメをアルゴリズムに従って歩かせ、その軌跡が画面に現れる。アルゴリズムを考えさせるのが目的の教育用プログラミング言語。大昔、logoというプログラミング言語があったが、ドリトルはlogoからの派生。ドリトルではコマンドが日本語で記述できる。カメを動かすところはlogoのまま。
http://ja.wikipedia.org/wiki/LOGO

ドリトルのネーミングもシャレを感じる。

「名前の由来は「少しだけする」という意味の英語「do little」であり、「やることが少ない（簡単にプログラムを書ける）」という願いから」

また、ドリトル先生も井伏鱒二氏が翻訳するときに

「・・・・だからといって"Dolittle"と言う姓をその由来である"do little"、つまり「わずかな働き」からの意訳で「やぶ先生」とするわけにもいかないことからあえて「ドリトル」という表記を採った・・・・」

 という。

このドリトルという言語、長男が読んでいた「生き物たちのエレガントな数学」という本の中に出てきた。

自然界に見られるフィボナッチ数やフラクタル構造に数学的な構造が含まれていることを理解しやすいよう、数式をグラフィックで表示させている。

このように、何かの目的に沿ってプログラムを覚えて行けると、いろいろと応用出来ることにつながりそう。

生き物たちのエレガントな数学
ドリトル先生アフリカ行き

瓶詰めのサクランボとモモ

軽井沢に着いて、最初に食べたのが瓶詰めのサクランボとモモ。

長男はこの瓶を見るなり、もっとたくさん入らないかな・・・と考え始める。

最密充填の問題の応用か。純粋な数学の問題よりも実用的。

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%90%83%E5%85%85%E5%A1%AB

 

NHK Eテレ

4月より「考えるカラス」という番組がNHK Eテレ(旧・教育テレビ)で始まった。

番組のことは理科ハウスで教わったのだが、「自ら課題を見つけ、仮説を立て、実験や観察を行い、自分の頭で考察する」をテーマとしている番組。

身近に見られる出来事を挙げ、「なぜ、そうなるのか」を考えさせる。1回目は影がのびてくっつく現象、2回目はコップの表面張力。この番組の最大の特徴は番組の中で答えを明かさないところ。

教室での授業につなげるのだろう。長男からはまだ学校でこのような番組を見たとは聞いていないが、こういう新しい取り組み、注目したい。

別の日、たまたまつけっぱなしになっていたテレビで、数学Ⅰの講座が流れた。

内容は「累乗の計算に関する法則（指数法則）」について。　xのn乗とxのm乗を掛けたとき、xのn+m乗になる。　xのn乗のm乗はxのn×m乗になる。

• x^n+m = xⁿ × x^m
• x^n×m = (xⁿ)^m

番組では、ありがちな典型的な間違い・・・xⁿ × x^m = x ^n×m　としてしまう・・・・をわざと犯して見せ、「そうではない」ことを先生が解説。

たまたま見ていた長女は「エー、そうなの？？」という反応。同じ勘違いをしていたようだ。たまたま見ていたテレビで、ひとつ覚えられただろう。

テレビ講座も役に立つことがあると思った次第。

数学ガール

反抗期のためなのか、塾の勉強に疲れているのか、最近長男の機嫌が悪いことが多いのだが、勉強で疲れていたとしても、興味のあること、面白そうなことには積極的になれるのだと改めて思う。

「数 学ガール」という本があり一般の (Amazonでの) 評価も高いことは以前から知っていたが、自分でもはじめて読む機会があった。物語り仕立てで、(算数ではない)数学の問題に取り 組む点は「数の悪魔」と同じ構成。取り上げている問題も、長男ならば興味を持ちそうな問題(素数、フィボナッチ数列)が多い。そう思って長男にも中身をパ ラパラと目せて見た。早速興味を持ち、学校へ行くカバンの中に入って行った。

こんなことでも息抜きになるものなのだろうかとも思うが、この興味の持ち方は大切にしたいと思う。

「かけ算に順序があるのか」

高橋誠著
岩波科学ライブラリー
より

「10の半分は5だけれど、10の真ん中は5なのか？」
また、
「なぜ2時から5時までは3時間で、2日から5日までは4日間なのか」
という箇所も。
数の性質の解説。面白い。

なぎさブラス@ピタゴラスイッチ

正月の予約録画番組を見る。

ピタゴラスイッチはNHK Eテレ (教育番組) のプログラムで普段は子ども向けの内容だが、正月の特別版として大人向けの内容を放送。

「アルゴリズムたいそう」にはN響メンバーが出演。N響なのでもしかして、と思いながら見ているとなぎさブラスのメンバーの方も発見。池田さん(tu)と池上さん(tb)が嬉しそうにアルゴリズムたいそうをしている。なぎさブラス公演の時のようにくだけた感じで、ご自身で楽しんでいる様子がありありとわかり、見ている方も嬉しくなまりした。

番組は、6日4pm-5pm に再放送されるとのこと。

http://natalie.mu/owarai/news/81098

http://cgi2.nhk.or.jp/navi/detail/index.cgi?id=12f12620130103

「大人向け」の内容について少し触れておくと、

1夜目は、アルゴリズムについて。

アルゴリズムとは「ある問題を解くための計算手順や処理手順」。解説されたのはマージソートとクイックソート。データを順番に並べ替えること(ソート)はコンピューターではよく行うが、その並べ替える手順についてわかりやすく解説。

子どもたちにとって問題を解くための手法を論理立てて考えられるようになるきっかけになればよいと思う。

ソートアルゴリズムについてはWeb上でいくつかの解説ページがあったのでリンクしておこう。

http://www.ibe.kagoshima-u.ac.jp/~fuchida/edu/algorithm/sort-algorithm/index.html

http://www.geocities.jp/ky_webid/algorithm/index.html

子どもの読書誘導

以前に陰山英男氏のラジオで聞いたことに、

「子どもに読ませたい本は、リビングに置いておけ、子どもが興味を持ったらそれを開く」

と言うような主旨の内容があった。

手前味噌で恐縮だが、自分が読もうと思って図書館で借りた本。食卓の上に置いてあったのだが早速長男が見つけ、「学校に持って行ってもいい？」と聞く。まさに陰山氏のラジオのような状況。

親の立場としてはとてもうれしい。

ルービックキューブ攻略法

理科ハウスにて、
たまに、受け付けに座っている大学生はキューブの達人だということがわかった。ご自身の記録では、6面完成まで1分を切るそうだ。

長男は早速弟子入り。
駆け足ながらも、一通り6面完成までの攻略法を伝授してもらう。

長男は、これまでも、攻略法が書かれたWebサイト(http://www.macozy.com/rubik/rc.html など)を見ながら、6面完成させたことはあるが、今回教えてもらったのも基本的な手順は同じ (LBL法というそうだ)　口づてなので、「なぜこの段階この場面で、その動きをするのか」という解説付き。
わかりやすかったに違いない。

http://delicious.com/tanakat13/rubikcube